Числа под знаком корня

Квадратный корень. Подробная теория с примерами.

числа под знаком корня

Упростить квадратный корень вовсе не так сложно, как может показаться. Нужно просто разложить число на множители и извлечь из-под знака корня. Знак корня (знак радикала) (√) в математике — условное обозначение {\ displaystyle {\sqrt {\quad }}} {\sqrt {\quad }} для корней, по умолчанию квадратных. Квадратный корень (арифметический квадратный корень) из Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть.

Таким образом, на множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа.

числа под знаком корня

Иными словами, на множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла. Отсюда вытекает логичный вопрос: Обоснованием этого факта можно считать конструктивный способ, используемый для нахождения значения квадратного корня. Тогда встает следующий логичный вопрос: Вот ответ на него: Сначала покажем, что нуль действительно является квадратным корнем из нуля. Теперь докажем, что 0 — единственный квадратный корень из нуля. Воспользуемся методом от противного.

Предположим, что существует некоторое число b, отличное от нуля, которое является квадратным корнем из нуля. Мы пришли к противоречию. Это доказывает, что 0 — единственный квадратный корень из нуля. Переходим к случаям, когда a — положительное число. Выше мы сказали, что всегда существует квадратный корень из любого неотрицательного числа, пусть квадратным корнем из a является число b.

Допустим, что существует число c, которое тоже является квадратным корнем из a. Таким образом, числа b и c равны или противоположны. Если же предположить, что существует число d, являющееся еще одним квадратным корнем из числа a, то рассуждениями, аналогичными уже приведенным, доказывается, что d равно числу b или числу c.

Умножение корней: методы и применение

Итак, число квадратных корней из положительного числа равно двум, причем квадратные корни являются противоположными числами. С этой целью вводится определение арифметического квадратного корня.

  • Квадратный корень
  • Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры
  • Квадратный корень. Начальный уровень.

Определение Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение. Знак называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Например, в записи число — это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением. В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что и для любого неотрицательного числа a. Квадратные корни из положительного числа a с помощью знака арифметического квадратного корня записываются как.

Например, квадратные корни из числа 13 есть.

Квадратный корень — Википедия

Арифметический квадратный корень из нуля равен нулю, то есть. Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишены смысла выражения и На базе определения квадратного корня доказываются свойства квадратных корнейкоторые часто применяются на практике.

Нахождение квадратных корней заслуживает детального изучения, этой теме посвящена отдельная статья извлечение квадратных корней. К началу страницы Кубический корень из числа Определение кубического корня из числа a дается аналогично определению квадратного корня.

Только оно базируется на понятии куба числа, а не квадрата. Определение Кубическим корнем из числа a называется число, куб которого равен a.

Корень n-ной степени и его свойства. Решение примеров

Приведем примеры кубических корней. Можно показать, что кубический корень из числа a, в отличие от квадратного корня, всегда существует, причем не только для неотрицательных a, но и для любого действительного числа a. Для этого можно использовать тот же способ, о котором мы упоминали при изучении квадратного корня. Более того, существует только единственный кубический корень из данного числа a.

Для этого отдельно рассмотрим три случая: Легко показать, что при положительном a кубический корень из a не может быть ни отрицательным числом, ни нулем. Итак, кубический корень из положительного числа a является положительным числом. Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a, обозначим его c.

числа под знаком корня

Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да Начнём с самой простой. Напоминаю из предыдущего урока: Иначе формула смысла не имеет Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное.

Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей!

Ко­рень n-й сте­пе­ни

Разберём на примерах все эти полезные вещи. Эта формула позволяет нам умножать корни. Казалось бы, умножили, и что? А вот как вам такой пример? Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата - отлично! На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней - тоже понятно.

Внесение числа под знак корня.

числа под знаком корня

Как внести число под корень? Предположим, что у нас есть вот такое выражение: Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка - это корень квадратный из четырёх! Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа!

Знак корня

Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. Ну, и так далее. Конечно, расписывать так подробно нужды. Разве что, для начала Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но - не забывайте!

Это действие - внесение числа под корень - можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать: Процедура простая, как видите. А зачем она нужна? Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое. Вот вам простенький пример: Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора!

числа под знаком корня

Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах. Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Так сразу и не скажешь А если внести числа под знак корня? Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов: Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли.

Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Разве это что-то даёт!?

числа под знаком корня

Предположим, нам нужно извлечь без калькулятора! Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей Но мы упорные, мы не сдаёмся! Как извлекать корни из больших чисел? Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!?